在函数与方程模块中，掌握周期性、对称性等特性往往能简化复杂问题。例如，针对周期性问题，若已知f(x)=-f(x+k)，可直接推导出周期T=2k；若f(x)=m/(x+k)（m≠0），同样可得T=2k。需特别注意：周期函数的周期是无限的，但未必存在最小周期（如常数函数），且两个周期函数相加可能不再是周期函数（如y=sinx与y=sinπx的和）。
关于对称性，若函数在实数域上满足f(a+x)=f(b-x)，其对称轴为x=(a+b)/2；而y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像则关于x=(b-a)/2对称。中心对称的判断也有规律可循：若f(a+x)+f(a-x)=2b，则函数图像关于点(a,b)对称。
复合函数的奇偶性与单调性是高频考点。内函数为偶函数时复合函数必为偶；内奇则复合函数奇偶性与外函数一致。单调性遵循“同增异减”原则，即内外函数单调性相同时复合函数增，相反则减。值得注意的是，三次函数是中心对称图形，其对称中心可通过二阶导数为0的点确定，且存在唯一过该中心并与曲线两侧相切的直线。
数列问题中，等差数列与等比数列的性质是解题关键。等差数列中，奇数项和S奇=na中（如S₁₃=13a₇）；S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差数列。等比数列中，若公比q≠-1，上述三项成等比数列；q=-1时需单独验证。
特征根方程是解决递推数列的利器。对于an+1=pan+q（a₁已知），特征根x=q/(1-p)，通项公式可表示为an=(a₁-x)p^(n-1)+x。此方法适用于一阶线性递推数列，二阶递推因复杂度较高，实际应用中可通过构造辅助数列简化。
求和技巧方面，隔项相消法值得重点掌握。例如Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+…+1/[n(n+2)]，可拆解为1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]，保留首两项与尾两项即可快速计算。此外，数列bn=n×2^(2n)的和Sn=(n-1)×2^(2(n+1))+2，通过观察项间关系可直接套用公式。
圆锥曲线部分，焦点弦的性质是高频考点。直线过焦点时，ecosA=(x-1)/(x+1)（A为直线与焦点轴夹角，x为分离比且x>1），此公式适用于所有圆锥曲线。若焦点外分线段，右侧变为(x+1)/(x-1)。椭圆与双曲线的切线斜率公式也有规律：k椭=-b²x₀/(a²y₀)，k双=b²x₀/(a²y₀)（(x₀,y₀)为弦中点），抛物线则为k抛=p/y₀。
空间几何中，需注意常见命题误区：不同三点未必共面（需不共线），垂直同一直线的两直线可能异面，两组对边相等的四边形不一定是平行四边形（空间四边形）等。向量法是解决立体几何的通用工具，线线夹角cosθ=|a·b|/(|a||b|)，线面夹角sinθ=|a·n|/(|a||n|)（n为法向量），面面夹角则直接取法向量夹角。
三角形相关公式中，面积可通过向量计算：若向量AB=(m,n)，向量BC=(p,q)，则面积S=1/2|mq-np|。外心与垂心的向量关系也有规律，如向量OH=OA+OB+OC（O为外心，H为垂心），若三角形顶点在y=1/x上，其垂心也必在该函数图像上。
计算失误是数学丢分的主因之一。提升计算能力需坚持“五步曲”：扔掉计算器培养手算习惯，审题时慢读题目抓关键，熟记常用数据（如平方数、三角函数值），加强心算与估算训练，最后严格检验结果。
易错点集中在函数奇偶性判断（需先看定义域是否对称）、数列通项验证（首项可能不符合sn-sn-1的结果）、向量模长计算（平方后需开方）等方面。例如，向量a在向量b上的射影为(a·b)/|b|，但部分同学易忽略分母的模长。
不等式证明中，ln(x+1)≤x（x>-1）是实用工具。如证明1+1/2+…+1/n>ln(n+1)，可将左边视为矩形面积，右边视为曲线下面积，利用定积分几何意义快速推导。此外，绝对值不等式| |a|-|b| |≤|a±b|≤|a|+|b|需注意等号成立条件。
以椭圆为例，若OA⊥OB（A、B在椭圆x²/a²+y²/b²=1上），则1/|OA|²+1/|OB|²=1/a²+1/b²，此结论可快速解决垂直弦长问题。抛物线y²=2px中，过焦点的垂直弦AB、CD长度和最小值为8p，利用弦长公式2p/sin²A与2p/cos²A可推导验证。
三角函数部分，和差化积与积化和差公式是化简关键。如sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]，熟练应用可简化复杂表达式。辅助角公式asint+bcost=√(a²+b²)sin(t+m)（tanm=b/a，a>0）中，通过tanm确定m值可避免符号错误。
最后，函数最值问题可借助参数方程简化。如x²/4+y²=1求z=x+y的最值，令x=2cosa，y=sina，利用sin(a+φ)的有界性可得z∈[-√5,√5]，比直接求导更高效。
以上50个技巧覆盖高中数学核心模块，既有公式推导又有实战应用。建议同学们结合例题反复练习，将技巧内化为解题直觉，真正实现“看到题目就能想到方法”的提分目标。
